Криволинейный интеграл 2-го рода онлайн

Криволинейный интеграл 2-го рода онлайн

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода 1. Если кривая AB разбита на части AC и C B и криволинейный интеграл существует, то существуют интегралы, при которых криволинейный интеграл второго рода, в отличие от криволинейного интеграла первого рода, зависит от того, в какую сторону кривая AB идет от A к B или от B к A, и меняет знак при изменении направления кривой, т.е. Ремарка: Последнее свойство физической интерпретации криволинейного интеграла 2-го рода как работы силового поля F вдоль некоторого пути: при изменении направления движения по кривой работа силового поля вдоль этой кривой меняет знак на противоположный.

Заметим, что последний интеграл в этой формуле является криволинейным интегралом 1-го рода. При изменении ориентации кривой AB единичный вектор касательной t заменяется противоположным вектором -t , что влечет за собой изменение знака его интеграла, а значит, и знака самого интеграла.

Выведем формулу Грина, связывающую криволинейный интеграл по границе L плоской области D с двойным интегралом по этой области. Граница L плоской области D может состоять из одной или нескольких простых замкнутых кривых. В первом случае она называется односвязной, а во втором - многосвязной.

Если граница L состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых Li, то кривые L, называются связными компонентами границы. Доказательство теоремы проведем для односвязной области на рис. В силу свойства линейности достаточно доказать первую из этих формул. <Предположим сначала, что кривая L пересекает каждую прямую, параллельную оси О, не более чем в двух точках или во всем отрезке рис. Если каждая такая прямая пересекает кривую L не более чем в двух точках, то кривую L можно разделить на две части L1 и L2 , каждая из которых однозначно проецируется на некоторый отрезок [a, b] оси Ох. В силу аддитивности криволинейного интеграла имеем Для каждой из кривых L1 и L2 возьмем абсциссу x в качестве параметра и запишем уравнения кривых в виде Тогда по предположению производная непрерывна в D, а значит, по известной формуле интегрального исчисления, приращение функции можно записать через интеграл от производной функции: формула 4 и формула 5 дают Повторный интеграл в правой части последнего соотношения равен двойному интегралу функции по области D, так что в итоге имеем доказанную формулу 2.

Формула 3 доказывается аналогичным образом. Сложив по порядку уравнения 2 и 3, получаем формулу Грина 1. Заметим, что формула Грина справедлива и для более сложных контуров L, а также для несвязных областей D. Рассмотрим, например, случай двухсвязной области на рис. Сделаем разрез AB этой области, превратив ее в односвязную. Тогда получим, что интегрирование по кривой L1 происходит против часовой стрелки, а интегрирование по кривой L2 - по часовой стрелке.

Заметим, что в этом случае кривые L1 и L2 пересекаются так, что область D остается слева. Это направление обхода контура предполагается положительным. Тогда по формуле Грина 1 получаем где S - площадь области D. Аналогично случаю с плоскостью, определим криволинейный интеграл вектор-функции F по ориентированной кривой AB выражением Это криволинейный интеграл 2-го рода по пространству.

Мы предполагаем, что f M - непрерывная функция на AB. Площадь цилиндрической поверхности Пусть задана некоторая прямолинейная t в плоскости xOu. Тогда множество точек x, y, f x, y , или M, f M , образуют некоторую кривую, лежащую на цилиндрической поверхности, для которой кривая AB является направляющей и ее форма параллельна оси Oz.

Для решения этой задачи сделаем следующее: 1 Разделим кривую AB на n частей точками, как показано на рис. Вычислить площадь части боковой поверхности цилиндра, разрезанной сверху поверхностью Сведем задачу к вычислению криволинейного интеграла 1-го рода от функции по дуге окружности, расположенной в первой четверти. Будем иметь Параметрические уравнения линии AB -.

.

Навигация

thoughts on “Криволинейный интеграл 2-го рода онлайн ”

  1. По моему мнению Вы допускаете ошибку. Давайте обсудим это. Пишите мне в PM, пообщаемся.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *